TEOREMA DE GÖDEL

INTRODUCCIÓN
  

El teorema de Gödel es uno de los resultados fundamentales de las matemáticas del siglo XX y una de las aportaciones cruciales a las matemáticas de todos los tiempos. Por su importancia, es equiparable a la teoría de la relatividad de Albert Einstein o al principio de incertidumbre de Werner Heisenberg.

                                       

A pesar de su enorme relevancia, poca gente fuera del mundo de la ciencia ha oído hablar de él. Es, sin embargo, un teorema que no es difícil de entender, que provoca enorme interés en quienes lo llegan a captar y cuyas aplicaciones ilustran fascinantes paradojas matemáticas.

Tal vez la mayor aportación de Kurt Gödel (1906- 1978) es que, junto con otros trabajos de pensadores del siglo XX, sus teoremas establecen límites para las matemáticas en particular y para el conocimiento científico en general. En pocas palabras lo que Gödel nos dice en su teorema es que nunca llegaremos a conocer todos los secretos del Universo.

EL TEOREMA DE GÖDEL (TOMA 1)

 En 1931 Kurt Gödel publicó un artículo titulado:

 “Sobre proposiciones formalmente no decidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados”

 La proposición VI de este artículo es lo que hoy se conoce como el primer teorema de Gödel. Esta proposición dice lo siguiente:

 PROPOSICIÓN VI. “A toda clase c de fórmulas ω-consistente recursivas le corresponde una clase-signo r tal que ni v Gen r ni Neg (v Gen r) pertenecen a Flg(c), donde v es la variable libre de r”.

 Esta es una traducción al español de lo que Gödel publicó en alemán, aunque igual podría estar en alemán o en jeroglíficos egipcios, pues ni tú, querido lector, ni yo la entendemos.

 Vamos entonces a empezar de nuevo, pero intentando explicar esta increíble proposición VI de manera sencilla y comprensible.

EL TEOREMA DE GÖDEL (TOMA2)

 En 1931 Kurt Gödel publicó un artículo titulado:

“Sobre proposiciones formalmente no decidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados” 

Analicemos el título del artículo:

 Ya vimos, cuando hablamos de la paradoja formulada por Bertrand Russell, que Principia Mathematica fue el importantísimo libro escrito por Russell y Whitehead entre 1910 y 1913 en el que presentaron una formulación, aparentemente completa (es decir, que toda proposición verdadera podía demostrarse) y consistente (o sea que nunca aparecerían contradicciones y ni paradojas), del razonamiento matemático. Consideraron que su metodología permitiría construir cualquier formulación matemática presente y futura. 

El efecto inmediato de esta publicación fue el de tranquilizar a todos los matemáticos de la época, pues volvía a darle solidez al edificio lógico que la paradoja de Russell había conmocionado. Esta magna obra exorcizaba aparentemente las dificultades; sin embargo, no dejaba totalmente claro que nunca sería posible obtener resultados contradictorios. Tampoco era del todo evidente que en verdad todas las matemáticas estaban potencialmente contenidas en su metodología

En su artículo de 1931, Gödel se refiere a Principia Mathematica y sistemas relacionados. Esto implica que lo que va a decir es válido en la estructura lógica que proponen Russell y Whitehead en su libro, así como en cualquier otro sistema similar o relacionado, y con esto abarca a todas las construcciones de la lógica matemática que se basan en un conjunto de axiomas. Un axioma es una creencia básica que se acepta sin demostración alguna y que sirve como cimiento para construcciones intelectuales subsecuentes. Los sistemas basados en axiomas incluyen a todas las matemáticas, a buena parte de la ciencia y a numerosos territorios intelectuales todavía inexplorados. Gödel es precavido y no se atreve a afirmar que lo que va a decir es válido universalmente. Su teorema es válido para todo sistema basado en un número finito de axiomas. Lo que esto abarca es verdaderamente muchísimo territorio intelectual. 

Ya hemos entendido la parte final del título del artículo: Gödel nos va a decir algo muy importante que es válido para todos los sistemas que se describen en el libro Principia Mathematica, así como para cualquier otro sistema lógico basado en un número finito de axiomas. Veamos ahora la primera parte del título, eso de proposiciones formalmente no decidibles:

Una proposición es una aseveración o una afirmación que puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo, la siguiente es una proposición:

“Dos más dos son cinco” o en lenguaje matemático:

 2 + 2 = 5

La falsedad de esta afirmación puede demostrarse con facilidad.

Una proposición formalmente decidible es aquella aseveración cuya verdad o falsedad puede decidirse o demostrarse usando la metodología formal de la lógica matemática del sistema en el que estamos trabajando. Es decir, que a partir de los axiomas básicos del sistema y usando las reglas de la lógica podemos llegar a demostrar sin lugar a dudas si la proposición es verdadera o falsa. En cambio, una proposición formalmente no decidible es una aseveración que puede ser verdadera o falsa, pero que, ¡ojo!, hagamos lo que hagamos usando los axiomas y el formalismo del sistema lógico matemático, nunca vamos a poder decidir o demostrar si es verdadera o falsa.

TEOREMA DE GÖDEL: “EXISTEN ASEVERACIONES CUYA VERDAD/FALSEDAD NO VAMOS A PODER DEMOSTRAR”.

Lo que Gödel demuestra es que en todo sistema axiomático formal existen aseveraciones cuya verdad o falsedad es imposible de decidir desde dentro del sistema. Si nos salimos del sistema, entonces podremos saber si son verdaderas o falsas, pero dentro del sistema no. Este resultado se conoce como el teorema de indecidibilidad de Gödel. (¿Existirá esa palabreja de indecidibilidad

El tipo de paradojas lógicas que vimos cuando estábamos calentando la mente es justamente proposiciones no decidibles.

La existencia de estas paradojas o proposiciones no decidibles deja al sistema lógico de referencia debilitado. Un matemático quisiera que su sistema basado en unos cuantos axiomas fuera suficientemente poderoso, completo y consistente para que fuera posible decidir formalmente sobre la verdad o falsedad de cualquier proposición.

“¿Cuál es el problema?”, podría decir otro incauto matemático, la solución está simplemente en ampliar el sistema lógico en el que estamos trabajando con un axioma adicional que permita demostrar que la tal aseveración indecidible es en efecto verdadera o falsa. Y el asunto quedó resuelto, ¿no?

EL TEOREMA DE GÖDEL (TOMA 3)

En 1931 Kurt Gödel publicó un artículo titulado:

 “Sobre proposiciones formalmente no decidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados"

Aplicado específicamente al libro Principia Mathematica el teorema de Gödel diría:

 El sistema propuesto en Principia Mathematica incluye proposiciones indecidibles.

 Principia Mathematica fue entonces la primera víctima del teorema de Gödel, pero ciertamente no fue la última. Cuando Gödel dice sistemas relacionados incluye a cualquier sistema axiomático, en cuyo caso su teorema puede formularse de manera más general estremeciendo así a las matemáticas enteras:

Toda formulación axiomática y consistente en matemáticas incluye proposiciones indecidibles.

 Pero su teorema es todavía más general, ya que muchas ciencias y otras construcciones intelectuales de la humanidad se basan en conjuntos de leyes o axiomas. Entonces el teorema de Gödel en toda su generalidad se podría plantear así:

Toda formulación axiomática y consistente incluye proposiciones indecidibles

Esta última formulación nos dice simple y sencillamente que cualquier construcción intelectual que se base en un conjunto de axiomas y que sea internamente consistente (es decir, que no admita contradicciones internas), nunca quedará completa ya que siempre tendrá en su seno proposiciones que no podrá entender, explicar ni decidir si son verdaderas o falsas.

Usando la segunda versión del teorema de Gödel, podríamos decir que si logramos construir un sistema intelectual suficientemente poderoso para que sea completo (en el sentido de siempre poder decidir, explicar y entender cualquier proposición), lo lograremos pagando un precio muy alto: que en dicho sistema aparecerán irremediablemente contradicciones y paradojas, por lo que será inconsistente. Es decir:

Si un sistema es consistente, entonces es incompleto, y si el sistema es completo, entonces es inconsistente.

 Como puedes imaginar, lector, las implicaciones del teorema de Gödel para las matemáticas, la ciencia y el conocimiento humano en general, son inmensas y sus efectos han sido devastadores para quienes creían que la ciencia, llegaría a descifrar completamente a la naturaleza. Hoy, gracias a Gödel, la ciencia se ha bajado de su arrogante torre de marfil, los científicos nos hemos vuelto un poco más humildes y todos hemos tenido que aceptar las limitaciones inherentes en el potencial del conocimiento.